Question de cercle tangent à 2 paraboles

[almi17]

Bonjour,
Question envoyé par un collègue de travail. On demande r. J'aimerais qqes piste, svp.
J'ai essayé les équations des tangentes aux courbes ainsi que la propriété des perpendiculaires i.e. le produit des coefficients directeurs = -1.
J'ai essayé l'équation d'un cercle.
J'ai l'impression que le centre du cercle suit la courbe de y = x² - 1/4 mais pas su le démontrer.
Merci.
Je n'arrive pas à joindre le dessin !

[Noemi]

@almi17 Bonsoir,

Pour joindre une figure, utilise l'icône image il apparait  ; tu colles ton dessin dans la partie (url de l'image).

[almi17]

Merci beaucoup Noemi

[Black-Jack]

Bonjour,

Je trouve r = 0,178 et position du centre du cercle au point de coordonnées (0,484 ; 0)

Valeurs arrondies.

[Black-Jack]

Une manière, parmi d'autres, d'arriver au résultat :

Soit le cercle d'équation (x-a)² + y² = R²

on a le système :

(x-a)² + y² = R²
y = x²

... qui doit avoir 1 racine double (tangence entre cercle et parabole), donc se metrtre sous la forme (x-b)²*(x²+cx+d)

x²+a²-2ax + x^4 = R²
doit être équivalent à : x^4 + x^3(c-2b)+x²(d+b²-2bc)+x(b²c-2bd) + b²d = 0

on obtient le système (en identifiant les coefficients de même puissance en x des 2 équations) :
c = 2b
d - 3b² = 1
2b²-2b(3b²+1)=-2a
b²d=a²-R²

... qui permet d'écrire : a = 2b³+b et R² = 4b^6 + b^4

L'équation du cercle peut alors être exprimée avec le seul b en paramètre : (x- 2b³ - b)² + y² = 4^6 + b^4

On a donc le système :

(x- 2b³ - b)² + y² = 4^6 + b^4
y = x² - 1/2

... qui doit avoir 1 racine double (tangence entre cercle et 2 ème parabole)

On obtient après simplification : x^4 - x(4b³+2b) + 3b^4 + b² + 1/4 = 0

qui doit être équivalent à (x-B)²*(x²+Cx+D) = 0

On obtient le système (en identifiant les coefficients de même puissance en x des 2 équations) :

C = 2B
D+B²-2BC = 0
B²C-2BD = -4b²-2b
B²D = 3b^4+b²+1/4

... qui permet de tirer les 2 relations suivantes :

2B³ = 2b³+b
3B^4=3b^4+b²+1/4

Système de 2 équations à 2 inconnues, B et b, qui résolu donne : b = 0,37712 (et B = 0,62333)

Et en tirer avec a = 2b³+b et R² = 4b^6 + b^4 que : a = 0,484387... et R = 0,1781368...

Donc le centre du cercle est au point (0,484 ; 0) et le rayon est R = 0,178. (valeurs arrondies)